此题属于二次函数的综合题目,涉及了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系,梯形的中位线定理,综合性较强,关键是要求同学们能将所学的知识融会贯通.
(1)设函数解析式为y=ax
2+bx+c,然后利用待定系数法求解即可;
(2)设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),然后代入抛物线方程,用含y
2的式子表示出ON,设ON的中点E,分别过点N、E向直线l、作垂线,垂足为P、F,利用梯形的中位线定理可得出EF,与所求ON的值进行比较即可得出结论;
(3)过点M作MH丄NP交NP于点H,在RT△MNH中表示出MN
2,结合直线方程将MN
2化简,求出MN,然后延长NP交l
2于点Q,过点M作MS丄l
2交l
2于点S,则MS+NQ=y
1+2+y
2+2,利用根与系数的关系,求出
,并代入,从而可得出结论。
解答:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为
由
,解得
,所以
……………………4分
(2)设
,因为点M、N在抛物线上,
所以
,
,所以
;
又
=
,所以ON=
,又因为
,
所以ON
设ON的中点为E,分别过点N、E向直线
作垂线,垂足分别为P、F,
则
所以ON=2EF,
即ON的中点到直线
的距离等于ON长度的一半, 所以以ON为直径的圆与直线
相切. …………………………………9分
(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,则
又
,所以
所以
;
又因为点M、N既在
的图象上,又在抛物线上,所以
,即
,
所以
,
所以
,所以
所以
延长NP交
于点Q,过点M作MS⊥交
于点S,
则MS+NQ=
又
=
所以MS+NQ=
即MN两点到
距离之和等于线段MN的长.…………………………………………14