Question

12．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1内有一点P（1，1）．
（1）求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程；
（2）如果直线l：x=my+4与椭圆E相交于A、B两点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），代入椭圆方程，两式相减，再由中点坐标公式和斜率公式，可得直线的斜率，进而得到所求直线方程；
（2）设直线l：x=my+4与椭圆E相交于A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）两点，代入椭圆方程，运用韦达定理和平板电视对于0，再由斜率向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设以P为中点的弦的直线与椭圆相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
两式相减得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
则所求直线方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即3x+4y-7=0；
（2）设直线l：x=my+4与椭圆E相交于A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）两点，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（4+3m²）y²+24my+36=0，
y₃+y₄=-$\frac{24m}{4+3{m}^{2}}$，y₃y₄=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
则x₃x₄=（my₃+4）（my₄+4）=m²y₃y₄+4m（y₃+y₄）+16=$\frac{64-12{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₃x₄+y₃y₄=$\frac{100-12{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=-4+$\frac{116}{3{m}^{2}+4}$，
由△=（24m）²-4（4+3m²）•36＞0，可得m²＞4，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是（-4，$\frac{13}{4}$）．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查点差法求直线方程的方法和向量的数量积的坐标表示，属于中档题．