Question

（2007•淄博三模）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是

2 3

3

的点形成一条曲线，这条曲线的长度是（　　）

• A．

  3

  3

  π
• B．

  3

  2

  π
• C．

  3

  π
• D．

  5 3

  6

  π

Answer 1

分析：本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．

解答：解：由题意，此问题的实质是以A为球心、

2 3

3

为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，
各弧圆心角为

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，
截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=

3

3

，故各段弧圆心角为

π

2

．
∴这条曲线长度为3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3

6

π
故选D．

点评：本题考查弧长公式的应用，解题时要认真审题，仔细观察，避免出错．