Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求此函数在R上的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m﹣2t2）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0），f（0）=0
（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x，
∴ ．
（Ⅲ）任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ，
则 ，
∵x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， ∴x1+x2+2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
同理可证：函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（0）=0，
∴函数f（x）在R上单调递增．
∵对任意的t∈R，不等式f（t+1）+f（m﹣2t2）＜0恒成立，
即f（t+1）＜﹣f（m﹣2t2）=f（2t2﹣m）恒成立，
∴t+1＜2t2﹣m，即 恒成立，
∴ ，
所以，实数m的取值范围为
【解析】（Ⅰ）f（x）是定义在R上的奇函数f（﹣0）=﹣f（0），从而可得f（0）的值；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，利用x＞0时，f（x）=x2+2x及f（x）=﹣f（﹣x），可求得此时f（x）的表达式，从而可得此函数在R上的解析；（Ⅲ）任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 利用定义法可判断函数f（x）在R上单调递增，再将不等式f（t+1）+f（m﹣2t2）＜0恒成立转化为f（t+1）＜﹣f（m﹣2t2）=f（2t2﹣m）恒成立，分离参数m，利用恒成立思想可求实数m的取值范围．