Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，连接EN、EA，推导出四边形ENMA为平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAD．
（2）推导出△PAD是等边三角形，MN=PE，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取PD的中点E，连接EN、EA，
∵M，N分别是AB，PC的中点，ABCD是平行四边形，
∴EN$\underset{∥}{=}$AM，∴四边形ENMA为平行四边形
∴MN∥AE，
∵MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵E是PD中点，PA=AD=2a，
∴AE是∠PAD的平分线，
∵MN与PA所成的角为30°，MN∥AE，∴∠PAE=30°，
∴△PAD是等边三角形，
∴MN=PE=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．