函数,其中
为实常数。
(1)讨论的单调性;
(2)不等式在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若,设
,
。是否存在实常数
,既使
又使
对一切
恒成立?若存在,试找出
的一个值,并证明;若不存在,说明理由.
(1)当时,增区间为
,无减区间;当
时,增区间为
,减区间为
;(2)
;(3)存在,如
等,证明见详解.
【解析】
试题分析:(1)首先求导函数,然后对参数
进行分类讨论
的单调性;(2)根据函数的解析式可将问题转化为
的最大值,再利用导数研究函数单调性来确定其最值;(3)假设存在,将问题转化为证明:
及
成立,然后可考虑综合法与分析法进行证明.
试题解析:(1)定义域为,
①当时,
,
在定义域
上单增;
②当时,当
时,
,
单增;当
时,
,
单减.
增区间:
,减区间:
.
综上可知:当时,增区间
,无减区间;当
时,增区间:
,减区间:
.
(2)对任意
恒成立
,令
,
,
在
上单增,
,
,故
的取值范围为
.
(3)存在,如等.下面证明:
及成立.
①先证,注意
,
这只要证(*)即可,
容易证明对
恒成立(这里证略),取
即可得上式成立.
让分别代入(*)式再相加即证:
,
于是.
②再证,
法一:
,
只须证,构造证明函数不等式:
,
令,
,
当时,
在
上单调递减,
又当
时,恒有
,即
恒成立.
,取
,则有
,
让分别代入上式再相加即证:
,
即证.
法二:,
,
又故不等式成立.
(注意:此题也可用数学归纳法!).
考点:1、导数与单调性;2、分析法或综合法;3、分类讨论的思想;4、数列求和.
科目:高中数学 来源:2016届北京市海淀区高一上学期期末统考数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知函数,则下列说法中正确的是( )
A.若,则
恒成立
B.若恒成立,则
C.若,则关于
的方程
有解
D.若关于的方程
有解,则
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2016届上海浦东新区高一第一学期期末质量测试数学试卷(解析版) 题型:填空题
关于x的方程在
上有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是___________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2016届上海浦东新区高一第一学期期末质量测试数学试卷(解析版) 题型:填空题
某班共30人,其中有15人喜爱篮球运动,有10人喜爱兵乓球运动,有3人对篮球和兵乓球两种运动都喜爱,则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有___________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知一条曲线在
轴右侧,
上每一点到点
的距离减去它到
轴距离的差都是1.
(1)求曲线的方程;
(2)设直线交曲线
于
两点,线段
的中点为
,求直线
的一般式方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届重庆市高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
若在不等式组所确定的平面区域内任取一点
,则点
的坐标满足
的概率是_____________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com