Question

12．函数f（x）=2cos²x+2sinx-1，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，求得函数f（x）的值域．

解答 解：∵函数f（x）=2cos²x+2sinx-1=-2sin²x+2sinx+1=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值为$\frac{3}{2}$；
当sinx=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．