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已知函数f(x)=ln(1+x)-kx(k∈R)
(Ⅰ)若f(x)的最大值为0,求k的值;
(Ⅱ)若函数f(x)满足:集合A={f(n)|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数f(x)是等比源函数.在(1)条件下,判断g(x)=
1+x
ef(x)
+1是否为等比源函数,并证明你的结论;
(Ⅲ)已知数列{an}满足a1=1,an+1=ln(1+an)-
1
2
an(n∈N*),是否?m∈N*,使得方程sinx+am
3-2cosx-2sinx
=1(0<x<2π)无解,若不存在,请给予证明;若存在,请求出m.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题:计算题,证明题,导数的综合应用
分析:(Ⅰ)对函数求导,令导数为0,从而求k的值;
(Ⅱ)先判断不是等比源函数,再假设是,从而推出矛盾,从而证明;
(Ⅲ)化sinx+am
3-2cosx-2sinx
=1(0<x<2π)为am=
1-sinx
3-2cosx-2sinx
,设g(x)=
1-sinx
3-2cosx-2sinx
(0<x<2π),从而求其范围,判断是否存在即可.
解答: 解:(Ⅰ)由题意知,x>-1,
则f′(x)=
1
1+x
-k在(-1,+∞)上单调递减,
∵f(0)=0;且f(x)的最大值为0;
则f(x)在(-1,0)上存在增区间,在(0,+∞)存在减区间;
则f′(0)=1-k=0;
则k=1.
(Ⅱ)g(x)=
1+x
ef(x)
+1=
1+x
elnx-x
+1
=ex+1不是等比源函数,证明如下:
假设g(x)是等比源函数,则存在m0,m,n∈N*(不妨设m<n),使得
em0+1,1+em0+m,1+em0+n成等比数列;
即(em0+1)×(1+e(m0+n))=(1+e(m0+m)2
化简得,1+e(m0+n)+en=e(m0+2m)+2em
即1=e(m0+2m)+2em-e(m0+n)-en
上式显然不成立,故假设不成立;
则g(x)=ex+1不是等比源函数.
(Ⅲ)要使sinx+am
3-2cosx-2sinx
=1(0<x<2π)有解,
则必须?m∈N*,使am=
1-sinx
3-2cosx-2sinx

设g(x)=
1-sinx
3-2cosx-2sinx
(0<x<2π),
注意到g(x)≥0且g(x)=
1-sinx
3-2cosx-2sinx
=
1
1
(
1-cosx
1-sinx
)2
+1
<1
∴0≤g(x)<1,则为使sinx+am
3-2cosx-2sinx
=1(0<x<2π)有解,
0≤am<1,
设h(x)=ln(1+x)-
1
2
x
(x>-1)
则h′(x)=
1
1+x
-
1
2
=
1-x
2(1+x)

当x>1时,h′(x)<0,当<1时,h′(x)>0,
∴h(x)在x=1处取极大值即最大值,h(1)=ln2-
1
2

即a2=ln2-
1
2
<1,
再令h(x)=lnx-1+
1
x
(x>1),则h′(x)=
1
x
-
1
x2
>0,
∴h(x)>h(1)=0,即lnx>1-
1
x
(x>1),取x=2,
则ln2>
1
2

∴0<a2<1,符合;
∴?m=2,使方程sinx+am
3-2cosx-2sinx
=1(0<x<2π)有解.
点评:本题考查了导数的综合应用,同时考查了恒成立的转化与函数的最值与单调性,属于难题.
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