Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）的最大值为0，求k的值；
（Ⅱ）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．在（1）条件下，判断g（x）=

1+x

ef(x)

+1是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

a_n（n∈N^*），是否?m∈N^*，使得方程sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）无解，若不存在，请给予证明；若存在，请求出m．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对函数求导，令导数为0，从而求k的值；
（Ⅱ）先判断不是等比源函数，再假设是，从而推出矛盾，从而证明；
（Ⅲ）化sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）为a_m=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

，设g（x）=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

（0＜x＜2π），从而求其范围，判断是否存在即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，x＞-1，
则f′（x）=

1

1+x

-k在（-1，+∞）上单调递减，
∵f（0）=0；且f（x）的最大值为0；
则f（x）在（-1，0）上存在增区间，在（0，+∞）存在减区间；
则f′（0）=1-k=0；
则k=1．
（Ⅱ）g（x）=

1+x

ef(x)

+1=

1+x

elnx-x

+1=e^x+1不是等比源函数，证明如下：
假设g（x）是等比源函数，则存在m₀，m，n∈N^*（不妨设m＜n），使得
em0+1，1+e^m₀+m，1+e^m₀+n成等比数列；
即（em0+1）×（1+e^（m₀+n））=（1+e^（m₀+m））²；
化简得，1+e^（m₀+n）+eⁿ=e^{（m₀+2m）}+2e^m；
即1=e^{（m₀+2m）}+2e^m-e^（m₀+n）-eⁿ；
上式显然不成立，故假设不成立；
则g（x）=e^x+1不是等比源函数．
（Ⅲ）要使sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）有解，
则必须?m∈N^*，使a_m=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

，
设g（x）=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

（0＜x＜2π），
注意到g（x）≥0且g（x）=

1-sinx

3-2cosx-2sinx

=

1

1 ( 1-cosx 1-sinx )2 +1

＜1
∴0≤g（x）＜1，则为使sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）有解，
0≤a_m＜1，
设h（x）=ln（1+x）-

1

2

x（x＞-1）
则h′（x）=

1

1+x

-

1

2

=

1-x

2(1+x)

，
当x＞1时，h′（x）＜0，当＜1时，h′（x）＞0，
∴h（x）在x=1处取极大值即最大值，h（1）=ln2-

1

2

，
即a₂=ln2-

1

2

＜1，
再令h（x）=lnx-1+

1

x

（x＞1），则h′（x）=

1

x

-

1

x2

＞0，
∴h（x）＞h（1）=0，即lnx＞1-

1

x

（x＞1），取x=2，
则ln2＞

1

2

，
∴0＜a₂＜1，符合；
∴?m=2，使方程sinx+a_m

3-2cosx-2sinx

=1（0＜x＜2π）有解．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立的转化与函数的最值与单调性，属于难题．