Question

已知集合A={a²，a+1，-3}，B={a-3，a²+1，2a-1}，若A∩B={-3}，
（Ⅰ）求实数a的值．
（Ⅱ）设f(x)=

x2-4x+6，x≥0 x+6，x＜0

，求不等式f（x）＞f（-a）的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，-3∈B，对a-3=-3与2a-1=-3分别讨论分析，即可求得实数a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-1，当x≥0时，解不等式x²-4x+6＞3可得解集的一部分；当x＜0时，解不等式x+6＞3可得解集的另一部分；最后取其并集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵A∩B={-3}，∴-3∈B，
∴当a-3=-3，即a=0时，A∩B={-3，1}，与题设条件A∩B={-3}矛盾，舍去；
当2a-1=-3，即a=-1时，A={1，0，-3}，B={-4，2，-3}，
满足A∩B={-3}，综上可知a=-1．…（6分）
（Ⅱ）∵f（a）=f（1）=3，
∴当x≥0时，由f（x）＞f（1）得x²-4x+6＞3，
∴x＞3或x＜1．又x≥0，
∴x∈[0，1）∪（3，+∞）．
当x＜0时，由f（x）＞f（a）=3得x+6＞3，
∴x＞-3，
∴x∈（-3，0）．
∴所求不等式的解集为：（-3，1）∪（3，+∞） …（12分）

点评：本题考查一元二次不等式的解法，求参数a的值是关键，考查分类讨论思想与方程思想，考查集合的运算，属于中档题．