【题目】已知函数.
(1)当时, 求曲线
的极值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若对任意及
时, 恒有
成立, 求实数
的取值范围.
【答案】(1)极小值为.(2)详见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)先求函数导数,再求导函数在定义区间上零点
。列表分析导函数符号变化规律得函数极值(2)由导函数为零点得
,根据零点是否在定义区间上,以及两个零点大小关系,分类讨论导函数符号变化规律,确定对应单调区间:共分四种情况
,
,
,
(3)多变量不等式恒成立问题,一般方法仍为变量分离法,先分离x得
,即
;再分离m得
的最小值
试题解析:(1)函数的定义域为
,当
时,
, 解得
(舍去),
, 在
上递减, 在
上递增, 所以
的极小值为
.
(2),令
可得
.
①当时, 由
可得
在
上单调递减, 由
可得
在
上单调递增.
②当时, 由
可得
在
上单调递减, 由
可得
得在
和
上单调递增.
③当时, 由
可得
在
上单调递增.
④当时, 由
可得
在
上单调递减, 由
可得
得在
和
上单调递增.
(3)由题意可知, 对时, 恒有
成立, 等价于
,
由(2)知, 当时,
在
上单调递增,
, 所以原题等价于
时, 恒有
成立, 即
.在
时, 由
,故当
时,
恒成立,
.
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【题目】设椭圆方程+
=1(a>b>0),椭圆上一点到两焦点的距离和为4,过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,AB=2.
(1)求椭圆方程;
(2)若M,N是椭圆C上的点,且直线OM与ON的斜率之积为﹣,是否存在动点P(x0,y0),若
=
+2
,有x02+2y02为定值
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【题目】为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)
高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,
;
(Ⅱ)若从高校抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校
的概率.
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【题目】设命题P;实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足x2-5x+6≤0
(1)若a=1,且为真命题,求实数x的取值范围。
(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数a 的取值范围
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【题目】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图像;
(3)写出函数f(x)的单调区间及值域.
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【题目】
如图,某城市有一块半径为40的半圆形(以
为圆心,
为直径)绿化区域,现计划对其进行改建,在
的延长线上取点
,使
,在半圆上选定一点
,改建后的绿化区域由扇形区域
和三角形区域
组成,其面积为
,设
(1)写出关于
的函数关系式
,并指出
的取值范围;
(2)试问多大时,改建后的绿化区域面积
最大.
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【题目】定义:数列对一切正整数
均满足
,称数列
为“凸数列”,以下关于“凸数列”的说法:
①等差数列一定是凸数列;
②首项,公比
且
的等比数列
一定是凸数列;
③若数列为凸数列,则数列
是单调递增数列;
④若数列为凸数列,则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列.
其中正确说法的序号是_____________.
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【题目】为弘扬民族古典文化,学校举行古诗词知识竞赛,某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答,回答正确给改选手记正10分,否则记负10分.根据以往统计,某参赛选手能答对每一个问题的概率为;现记“该选手在回答完
个问题后的总得分为
”.
(1)求且
的概率;
(2)记,求
的分布列,并计算数学期望
.
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【题目】关于空间直角坐标系中的一点
,有下列说法:
①点到坐标原点的距离为
;
②的中点坐标为
;
③点关于
轴对称的点的坐标为
;
④点关于坐标原点对称的点的坐标为
;
⑤点关于坐标平面
对称的点的坐标为
.
其中正确的个数是
A. B.
C.
D.
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