【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图如图所示,规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.
(I) 求图中a的值;
(II) 根据已知条件完成下面22列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(III) 将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取3人进行约谈,记这3人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X).
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
【答案】Ⅰ ;
Ⅱ有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;
Ⅲ X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
数学期望,
【解析】
(1)根据频率和为1,列方程求出a的值;(2)由频率分布直方图计算晋级成功的频率,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)用“晋级失败”的频率估计概率,得,计算对应的概率,写出分布列,计算数学期望值。
Ⅰ由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,
可知,解得;
Ⅱ由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,
所以晋级成功的人数为人,填表如下:
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | 34 | 50 |
女 | 9 | 41 | 50 |
合计 | 25 | 75 | 100 |
假设“晋级成功”与性别无关,
根据上表数据代入公式可得,
所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;
Ⅲ由频率分布直方图知晋级失败的频率为,
将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,
这人晋级失败的概率为,所以X可视为服从二项分布,即,
, 故,
, ,
,
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
数学期望为, 或
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【题目】如图,平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=,cos∠EDC=.将△CDE沿CE折起,使点D移动到P的位置,且AP=,得到四棱锥P-ABCE.
(1)求证:AP⊥平面ABCE;
(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.
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【题目】蚌埠市某中学高三年级从甲(文)、乙(理)两个科组各选出名学生参加高校自主招生数学选拔考试,他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是,乙组学生成绩的中位数是.
(1)求和的值;
(2)计算甲组位学生成绩的方差;
(3)从成绩在分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲组至少有一名学生的概率.
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【题目】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个,求这两个国家包括A1,但不包括B1的概率.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l: (t为参数)与曲线C相交于M,N两点.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.
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【题目】已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边,向量=(-1,),=(cosA,sinA),若⊥,且acosB+bcosA=csinC,则角B的大小为______.
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