Question

15．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2$\sqrt{3}$，E为对角线BD的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为（　　）

• A． 28π
• B． 32π
• C． 16π
• D． 12π

Answer 1

分析 利用球的对称性可知∠OEC=60°，利用等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径，即可求出三棱锥P-BCD的外接球的表面积．

解答 解：过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心，
∵四边形ABCD是菱形，A=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵∠PEC=120°，∴∠OEC=60°；
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴CE=3，
∴EO′=1，CO′=2，
∴OO′=$\sqrt{3}$，
∴球的半径OC=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$．
∴三棱锥P-BCD的外接球的表面积为4π•7=28π，
故选：A．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，考查三棱锥P-BCD的外接球的表面积，找出∠OEC=60°是解题关键．