【题目】已知二次函数f(x)=x2+bx+c有两个零点1和﹣1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x),试判断函数g(x)在区间(﹣1,1)上的单调性并用定义证明;
(3)由(2)函数g(x)在区间(﹣1,1)上,若实数t满足g(t﹣1)﹣g(﹣t)>0,求t的取值范围.
【答案】(1)f(x)=x2﹣1;(2)见解析;(3)(0,).
【解析】
(1)由题意可得﹣1和1是方程x2+bx+c=0的两根,运用韦达定理可得b,c,进而得到函数f(x)的解析式;
(2)函数g(x)在区间(﹣1,1)上是减函数.运用单调性的定义,注意取值、作差和变形、定符号以及下结论等;
(3)由题意结合(2)的单调性可得﹣1<t﹣1<﹣t<1,解不等式即可得到所求范围.
(1)由题意得﹣1和1是方程x2+bx+c=0的两根,
所以﹣1+1=﹣b,﹣1×1=c,
解得b=0,c=﹣1,
所以f(x)=x2﹣1;
(2)函数g(x)在区间(﹣1,1)上是减函数.
证明如下:设﹣1<x1<x2<1,则g(x1)﹣g(x2),
∵﹣1<x1<x2<1,
∴x2﹣x1>0,x1+1>0,x2+1>0,
可得g(x1)﹣g(x2)>0,即g(x1)>g(x2),
则函数g(x)在区间(﹣1,1)上是减函数;
(3)函数g(x)在区间(﹣1,1)上,
若实数t满足g(t﹣1)﹣g(﹣t)>0,
即有g(t﹣1)>g(﹣t),
又由(2)函数g(x)在区间(﹣1,1)上是递减函数,
可得﹣1<t﹣1<﹣t<1,
解得0<t.则实数t的取值范围为(0,).
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【题目】下列有关线性回归分析的四个命题:
①线性回归直线必过样本数据的中心点();
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线;
③当相关性系数时,两个变量正相关;
④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数就越接近于.
其中真命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.求ξ分布列;
(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若 ,求a:b:c.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示,
(1)画出函数f(x),x∈R剩余部分的图象,并根据图象写出函数f(x),x∈R的单调区间;(只写答案)
(2)求函数f(x),x∈R的解析式.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示,
(1)画出函数f(x),x∈R剩余部分的图象,并根据图象写出函数f(x),x∈R的单调区间;(只写答案)
(2)求函数f(x),x∈R的解析式.
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【题目】一个盒中装有编号分别为的四个形状大小完全相同的小球.
(1)从盒中任取两球,求取出的球的编号之和大于的概率.
(2)从盒中任取一球,记下该球的编号,将球放回,再从盒中任取一球,记下该球的编号,求的概率.
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【题目】已知幂函数满足.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,是否存在实数使得的最小值为0?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)若函数,是否存在实数,使函数在上的值域为?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处,并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶,经过小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
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