Question

设x＝3是函数f(x)＝(x²＋ax＋b)e³－x(x∈R)的一个极值点．

(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；

(2)设a＞0，g(x)＝(a²＋)e^x．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f(ξ₁)－?g(ξ₂)|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x． 　　由(3)＝0得b＝－2a－3． 　　所以f(x)＝(x2＋ax－2a－3)e3－x， 　　(x)＝－[x2＋(a－2)x－3a－3]e3－x 　　＝－(x－3)(x＋a＋1)e3－x． 　　令(x)＝0得x1＝3，x2＝－a－1． 　　由于x＝3是f(x)的极值点， 　　故x1≠x2，即a≠－4． 　　当a＜－4时，x1＜x2． 　　故f(x)在(－∞，3]上为减函数，在[3，－a－1]上为增函数，在[－a－1，＋∞)上为减函数． 　　当a＞－4时，x1＞x2，故f(x)在(－∞，－a－1]上为减函数，在[－a－1，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数． 　　(2)当a＞0时，－a－1＜0，故f(x)在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，因此f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0)，f(4)}，f(3)]＝[－(2a＋3)e3，a＋6]． 　　而g(x)＝(a2＋)ex在[0，4]上为增函数，所以值域为[a2＋，(a2＋)e4]． 　　注意到(a2＋)－(a＋6)＝(a－)2≥0， 　　故由假设知 　　解得0＜a＜． 　　故a的取值范围是(0，)．