Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， 所以（2c﹣b）cosA=acosB
由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB．
整理得2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB．
∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴ ， ．
（Ⅱ）由余弦定理 ， ．
∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积 ．
∴三角形面积的最大值为 ．
【解析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．