Question

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=

1

3

，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），利用赋值法，即可求f（0）的值，利用当x＞0时，有0＜f（x）＜1，证明f（x）恒正；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义，结合f（x）恒正，即可得到f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）确定数列{a_n}是通项与前n项和，可得可得f（S_n）随着n的增大而减小，从而数列{b_n}为递减数列，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），令x＞0，y=0，则f（x）f（0）=f（x），
∵当x＞0时，有0＜f（x）＜1，∴f（0）=1．…（2分）
当x＜0时，-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，
由于f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1
所以f(x)=

1

f(-x)

＞1＞0，综上可知，f（x）恒正；…（4分）
（Ⅱ）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1
又由（1）可知f（x₁）＞0
所以f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＜f（x₁）
故f（x）在实数集R上是减函数；…（8分）
（Ⅲ）由题意a1=

1

3

，a_n=f（n），
∴a1=f(1)=

1

3

，an+1=f(n+1)=f(n)f(1)=

1

3

f(n)=

1

3

an
∴数列{a_n}为以首项a1=

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴an=(

1

3

)n，Sn=

1

2

(1-

1

3n

)…（12分）
由此可知，S_n随着n的增大而增大，再根据（2）可得f（S_n）随着n的增大而减小，
所以数列{b_n}为递减数列，
从而存在最大项，其为b1=f(S1)=f(a1)=f(

1

3

)=

[

3]f3(

1

3

)=

[

3]f(1)=

[ 3]9

3

…（14分）

点评：本题考查抽象函数，考查函数单调性的判断与证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．