Question

（2012•丰台区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若f(x)=

1

2

cos2x-

2

3

cosx+

1

2

，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法1：利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0，可得出sinB=1，利用特殊角的三角函数值得到B为直角，即可判断出三角形ABC为直角三角形；
法2：利用余弦定理化简已知的等式，整理后根据a不为0，得到sinB=1，利用特殊角的三角函数值得到B为直角，即可判断出三角形ABC为直角三角形；
（Ⅱ）把f（x）解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cosx的二次函数，配方后利用二次函数的性质及余弦函数的值域，即可得到f（A）的范围．

解答：解：（Ⅰ）法1：∵asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得：sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
∴sin（C+B）=sinAsinB，
∵在△ABC中，A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sinA=sinAsinB，又sinA≠0，
∴sinB=1，即B=

π

2

，
则△ABC为B=

π

2

的直角三角形；
法2：∵asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinA=b•

a2+b2-c2

2ab

+c•

a2+c2-b2

2ac

，
整理得：asinB=a，
∵a≠0，∴sinB=1，
∴在△ABC中，B=

π

2

，
则△ABC为B=

π

2

的直角三角形；
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

cos2x-

2

3

cosx+

1

2

=cos²x-

2

3

cosx
=（cosx-

1

3

）²-

1

9

，
∴f（A）=（cosA-

1

3

）²-

1

9

，
∵△ABC为B=

π

2

的直角三角形，
∴0＜A＜

π

2

，且0＜cosA＜1，
∴当cosA=

1

3

时，f（A）有最小值是-

1

9

，
则f（A）的取值范围是[-

1

9

，

1

3

）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．