分析 (Ⅰ)推导出DE⊥DA′,DE⊥AC,BC⊥面A′AC,从而∠ACD是二面角A′-CB-A的平面角,由此能证明CD⊥A′E.
(Ⅱ)以D为原点,DC、DE、DA′所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D,E分别为AC,AB的中点,
∴DE∥CB,∴DE⊥DA′,
又DE⊥AC,且AC∩A′D=D,AC,A′D?面A′AC,则DE⊥面A′AC,
又DE∥CB,则BC⊥面A′AC,
∴∠ACD是二面角A′-CB-A的平面角,∴∠ACD=45°,
又A′D=CD,则CD⊥A′D,
又CD⊥DE,DE∩A′D=D,A′D、DE?面A′DE,
∴CD⊥面A′DE,
∵A′E?面A′DE,∴CD⊥A′E.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知DC、DE、DA′两两垂直,
以D为原点,DC、DE、DA′所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
A′(0,0,a),B(a,2a,0),E(0,a,0),$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=(a,2a,-a),$\overrightarrow{{A}^{'}{E}^{'}}$=(0,a,-a),
设平面A′BE的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}^{'}B}=ax+2ay-ax=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}^{'}E}=ay-az=0}\end{array}\right.$,取x=-1,得$\overrightarrow{m}$=(-1,1,1),
平面A′CD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $56+16\sqrt{2}$ | B. | 56+8$\sqrt{2}$ | C. | 64 | D. | 72 |
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