Question

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得二面角A′-CB-A为45°．
（Ⅰ）求证：CD⊥A′E；
（Ⅱ）求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DE⊥DA′，DE⊥AC，BC⊥面A′AC，从而∠ACD是二面角A′-CB-A的平面角，由此能证明CD⊥A′E．
（Ⅱ）以D为原点，DC、DE、DA′所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥CB，∴DE⊥DA′，
又DE⊥AC，且AC∩A′D=D，AC，A′D?面A′AC，则DE⊥面A′AC，
又DE∥CB，则BC⊥面A′AC，
∴∠ACD是二面角A′-CB-A的平面角，∴∠ACD=45°，
又A′D=CD，则CD⊥A′D，
又CD⊥DE，DE∩A′D=D，A′D、DE?面A′DE，
∴CD⊥面A′DE，
∵A′E?面A′DE，∴CD⊥A′E．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC、DE、DA′两两垂直，
以D为原点，DC、DE、DA′所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A′（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=（a，2a，-a），$\overrightarrow{{A}^{'}{E}^{'}}$=（0，a，-a），
设平面A′BE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}^{'}B}=ax+2ay-ax=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}^{'}E}=ay-az=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1），
平面A′CD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．