Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

．-sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，sin

x

2

）
（1）设函数f（x）=

a

•

b

，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|，若g（x）的最小值是-

3

2

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的坐标运算可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）利用平面向量模的运算性质可得，|

a

+

b

|=2|cosx|，g（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-4λ|cosx|-1，令t=|cosx|，则t∈[0，1]，可知h（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，t∈[0，1]．依题意，通过对λ取值范围的讨论，利用二次函数的性质即可求得λ．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ-

π

2

≤x≤kπ（k∈Z），
所以，f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z）；
（2）因为|

a

+

b

|²=|

a

|2+2

a

•

b

+|

b

|2=2+2cos2x，
所以，|

a

+

b

|=2|cosx|，
所以，g（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-4λ|cosx|-1，
令t=|cosx|，则t∈[0，1]，
则h（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，t∈[0，1]．
当λ＜0时，h（t）在区间[0，1]上单调递增，
由h（t）_min=h（0）=-1≠-

3

2

；
当0≤λ≤1时，h（t）_min=h（λ）=-1-2λ²=-

3

2

，解得λ=

1

2

；
当λ＞1时，h（t）在区间[0，1]上单调递减，
由h（t）_min=h（1）=1-4λ=-

3

2

得：λ=

5

8

＜1，舍去；
综上所述，λ=

1

2

．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，突出考查三角函数的单调性质，考查分类讨论思想、转化思想，属于难题．