如图.已知圆与轴负半轴的交点为. 由点出发的射线的斜率为. 射线与圆相交于另一点 (1)当时.试用表示点的坐标, (2)当时.求证:“射线的斜率为有理数是“点为单位圆上的有理点的充要条件,(说明:坐标平面上.横.纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道.一个有理数可以表示为.其中.均为整数且.互质) (3)定义:实半轴长.虚半轴长和半焦距都是正整数的双曲线为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知圆与轴负半轴的交点为. 由点出发的射线的斜率为. 射线与圆相交于另一点

（1）当时，试用表示点的坐标；

（2）当时，求证：“射线的斜率为有理数”是“点为单位圆上的有理点”的充要条件；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道，一个有理数可以表示为，其中、均为整数且、互质）

（3）定义：实半轴长、虚半轴长和半焦距都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.

当为有理数且时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”(规定：实轴长和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线)，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点的横坐标、纵坐标和半径的数值构成. 说明你的理由并请尝试给出构造方法.

（1）（2）证明略（3）略

解析:

（1）解：设点的坐标为. 由题意，点的坐标为，

于是可设射线的方程为，

代入圆的方程可得：…①

方程①中，一个解必为，则由根与系数关系可知

点的横坐标为；代入直线方程可得.所以，点的坐标即为.

（2）充分性：设射线的斜率（其中、均为整数且、互质）

则由（1）可知，.

因为、均为整数，所以、必为一个有理数，从而点必为一个有理点.

必要性：若点为有理点，则可设，（其中、、、均为整数且和互质、和互质）

于是，，因为、、、均为整数，所以必为一个有理数.

（3）证：设点的坐标为.当时，点必定落在第一象限的四分之一圆周上，即，.

而由，所以的横坐标、纵坐标以及圆的半径必能构成某个双曲线的一组实半轴长、虚半轴长和半焦距的数据. 由（2）结论可知，

此时点的坐标应为其中、此时均为正整数且、互质.

于是，只要构造圆半径（其中为正整数）时，则会有

,，它们都为正整数，且满足.

因此，对于斜率为（其中、均为整数，且、互质）的斜线，只需确定圆的半径满足（其中为正整数），则必定能构造“整勾股双曲线”满足题意.

特别地，因为当时，点坐标必为，而此时射线的斜率为，不是有理数.所以，构造出的双曲线一定不是等轴双曲线，

即由，可构造的“整勾股双曲线”的实半轴长、虚半轴长和半焦距长可由和构成，且个数一定为偶数个.

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，其中p、q均为整数且p、q互质）
（3）定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”．
当0＜k＜1时，是否能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成？若能，请尝试探索其构造方法；若不能，试简述你的理由．

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