Question

6．函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²ωx+2sinωcosωx-$\sqrt{3}$（ω＞0），其图象上相邻两个最高点之间的距离为$\frac{2}{3}$π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）在[0，$\frac{4π}{3}$]上的单调增区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求方程g（x）=t（0＜t＜2）在[0，$\frac{8}{3}$π]内所有实根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）在[0，$\frac{4π}{3}$]上的单调增区间．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用正弦函数的图象，求得g（x）=t在[0，$\frac{8}{3}$π]内所有实根之和．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2$\sqrt{3}$cos²ωx+2sinωcosωx-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），
其图象上相邻两个最高点之间的距离为$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2}{3}$π，∴ω=$\frac{3}{2}$，f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=2sin[3（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（3x-$\frac{π}{6}$） 的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y=g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{6}$） 的图象．
由x∈[0，$\frac{4π}{3}$]，可得$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{4kπ}{3}$-$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{4π}{9}$，
故g（x）在[0，$\frac{4π}{3}$]上的单调增区间为[0，$\frac{4π}{9}$]、[$\frac{10π}{9}$ $\frac{4π}{3}$]．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期为$\frac{4π}{3}$，
故g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{8}{3}$π]内恰有2个周期，
g（x）-t在[0，$\frac{8}{3}$π]内恰有4个零点，设这4个零点分别为x₁，x₂，x₃，x₄，
由函数g（x）的图象特征可得$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{4π}{9}$，$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{2}$=$\frac{4π}{9}$+$\frac{4π}{3}$，∴x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{40π}{9}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，正弦函数的图象，属于中档题．