Question

已知α，β均为锐角，且cosα=

4

5

，tan（α-β）=-

1

3

．
（1）求cos（α-β）的值；     
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析：根据平方关系和α是锐角即可得出sinα，再利用基本关系式即可得出tanα，利用两角和的正切公式即可得出tanβ，利用基本关系式可得sinβ，cosβ，利用两角和的余弦公式展开即可得出．

解答：解：（1）∵0＜α＜

π

2

，cosα=

4

5

，∴sinα=

1-cos2α

=

3

5

，∴tanα=

sinα

cosα

=

3

4

．
∵tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

3 4 -tanβ

1+ 3 4 tanβ

=-

1

3

，解得tanβ=

13

9

．
联立

sinβ cosβ = 13 9 sin2β+cos2β=1

，解得

sinβ= 13 10 50 cosβ= 9 10 50

．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

9 10

50

+

3

5

×

13 10

50

=

3 10

10

．
（2）由（1）可得sinβ=

13 10

50

．

点评：本题中考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．