Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出导函数的两个根，就两根的大小分类讨论，在各类中判断根左右两边的导函数正负，据极值的定义求出极小值．
（II）借助（I）求出极大值g（x），求出g（x）的导函数g′（x），据导数的几何意义，g′（x）的范围即为切线斜率的范围，再通过g′（x）的导数研究g′（x）的单调性，判断出g′（x）范围即切线斜率的范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=e^-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，
得x=0或x=2-a，
当a=2时，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，此时f（x）单调递减；
当a＜2时，f'（x）＜0时，2-a＞0，
若x＜0，则f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，则f'（x）＞0，x=0是函数f（x）的极小值点；
当a＞2时，2-a＜0，若x＞0，则，若2-a＜x＜0，则f'（x）＞0，
此时x=0是函数f（x）的极大值点，
综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＜2，且当x＞2-a时，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的极大值点，f_max（x）=f（2-a）=（4-a）e^a-2，
于是g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2，令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2），
则h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，
即h（x）在（-∞，2）是增函数，
所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1，
又直线2x-3y+m=0的斜率为

2

3

，直线3x-2y+n=0的斜率为

3

2

，
所以由导数的几何意义知曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0相切．

点评：本题考查利用导数求函数的极值、导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线斜率，注意：在利用导数研究函数是，往往需要讨论．