Question

17．已知{a_n}是公比为2的等比数列，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，b_n=na_n，则数列{b_n}的前n项和T_n=（n-1）2ⁿ+1．．

Answer 1

分析 首先利用已知得到关于等比数列的首项的等式，求出首项，然后得到数列{b_n}的通项公式，根据其特点，利用错位相减法求和即可．

解答 解：由已知{a_n}是公比为2的等比数列，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
所以6a₂=a₁+a₃+7，即12a₁=a₁+4a₁+7，解得a₁=1，
所以${a}_{n}={2}^{n-1}$，
b_n=na_n=n2^n-1，
所以数列{b_n}的前n项和T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n2^n-1，①
2T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n-1）2^n-1+n2ⁿ，②
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n{2}^{n}$，
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．
故答案为：（n-1）2ⁿ+1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式求法以及错位相减法求数列前n项和．