Question

(10分) 已知数列{a_n}的前n项和S_n＝10n－n²，(n∈N^*)．
(1)求a₁和a_n；
(2)记b_n＝|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

(1) a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．(2) T_n＝

本题考查数列前n项和与通项公式的应用，考查转化思想与计算能力
由S_n=10n-n²知S_n是关于n的无常数项的二次函数（n∈N^*），可知{a_n}为等差数列，求出a_n，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，然后求解T_n．
(1)∵S_n＝10n－n²，∴a₁＝S₁＝10－1＝9.
∵S_n＝10n－n²，当n≥2，n∈N^*时，
S_n－1＝10(n－1)－(n－1)²＝10n－n²＋2n－11，
∴a_n＝S_n－S_n－1＝(10n－n²)－(10n－n²＋2n－11)
＝－2n＋11.
又n＝1时，a₁＝9＝－2×1＋11，符合上式．
则数列{a_n}的通项公式为a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．
(2)∵a_n＝－2n＋11，∴b_n＝|a_n|＝
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
n≤5时，T_n＝＝10n－n²；
n>5时T_n＝T₅＋＝25＋＝25＋(n－5)²＝n²－10n＋50，
∴数列{b_n}的前n项和T_n＝