精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
sinπx
πx+π1-x
(x∈R).下列命题:
①函数f(x)既有最大值又有最小值;
②函数f(x)的图象是轴对称图形;
③函数f(x)在区间[-π,π]上共有7个零点;
④函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.
其中真命题是
 
.(填写出所有真命题的序号)
考点:函数的图象
专题:函数的性质及应用
分析:考虑①时用基本不等式进行放缩;考虑②时,验证f(1-x)=f(x);考虑③时,sinπx=0,故x=k,k为整数,可得零点的个数;
考虑④时,验证f(0)=f(1)=0,故无单调性;
解答: 解:考虑①:
函数f(x)=
sinπx
πx+π1-x
1
2
πxπ1-x
=
1
2
π
,当且仅当x=
1
2
时取等号,故函数由最大值;
取x=-
1
2
,有f(-
1
2
)=
-1
π-
1
2
3
2
-1
1+4
3
2
-
1
9

当x>10时,f(x)>-
1
π10
>-
1
9
>f(-
1
2
),
当x<-9时,f(x)>-
1
π10
>-
1
9
>f(-
1
2
),
而f(x)在[-9,10]上存在最小值,设此最小值为m,则m≤f(-
1
2
),
所以,m亦为f(x)在定义域上的最小值.
故①正确;
考虑②:
因为f(1-x)=f(x),所以x=
1
2
为f(x)的对称轴,故②正确;
考虑③:
因为f(x)=0,即sinπx=0,故x=k,k为整数,
∴区间[-π,π]上有-3,-2,-1,0,1,2,3共7个零点,故③正确;
考虑④:
f(0)=f(1)=0,所以f(x)不可能单调递增;故④错误;
综上①②③正确,
故答案为:①②③
点评:本题主要考查函数的有关性质,要分析函数的表达式,进行合理的变形,同时要验证特殊值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知角α的终边经过点P(-3,4).
(1)求sinα,cosα的值;
(2)求sin(π+α)+cos(-α)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>0,-2a<b<-a,a+b+c=0,求
b2-3ac
a2
的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(α)=
sin(
π
2
-α)sin(-α)tan(π-α)
tam(-α)sin(π-α)

(1)化简f(α);
(2)若α为第三象限角,且cos(
2
-α)=
1
5
,求f(α)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=
3
2
an-3
(1)数列{an}的通项公式;
(2)若Sn>can(c为常数)对任意n∈N* 都成立,求c的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设M在曲线y=ex+
1
ex
上,N点在y=
3
2
x上,则|MN|的最小值为(  )
A、
13
13
(4-3ln2)
B、
13
13
(3-3ln2)
C、
13
13
(5-3ln2)
D、
13
13
(3-2ln2)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

试求关于x的方程x2-ax+1=0,x2+(a-1)x+16=0,x2-2ax+3a+1=0中至少一个方程有实根的充要条件.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如程序框图,当输出的y=3时,则输入的x的值是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案