已知周长为定值的扇形OAB,当其面积最大时,向其内任意掷点,则点落在△OAB内的概率是多少?
【答案】
分析:根据扇形面积公式,利用基本不等式,求出当圆心角α=2时,扇形的面积S有最大值,再利用几何概型计算公式,即可求出所求的概率.
解答:解:设扇形周长为m,半径为r,则弧长l=m-2r.
∴扇形的面积S=
lr=
r(m-2r)=
•2r•(m-2r)
∵2r•(m-2r)≤
=
,
∴当且仅当r=
时,扇形的面积S的最大值为
.
此时扇形的弧长为
,故此时扇形的圆心角为α=
=2
因此,点落在△OAB内的概率为
P=
=
=
=
sin2
答:当扇形面积最大时,向其内任意掷点,该点落在△OAB内的概率是
sin2.
点评:本题给出周长为定值的扇形,求其面积最大时掷点,能落在在△OAB内的概率.着重考查了扇形的面积公式、弧长公式、基本不等式求最值和几何概型等知识,属于中档题.