Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，当E、F分别在线段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直．

（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；
（2）当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A-DC-E的大小是60°．

Answer 1

分析：（1）直线AD与BC是异面直线，我们可以用两种不同的方法来证明结论．
反证法：假直线AD与BC共面，由线面平行的性质定理及平行公理，我们可以得到CD∥AB，这与已知中ABCD为梯形矛盾，进而得到直线AD与BC是异面直线；
直接法：在FC上取一点M，使FM=ED，根据平行四边形的判定及性质，可得DM∥AB，进而根据异面直线判定定理，得到结论；
（2）延长CD，EF，相交于N，设AB=x，则△NDE中，NE=x，过E作EH⊥DN于H，连接AH，可证得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，由已知中二面角A-DC-E的大小是60°我们可以构造方程求出x值，构造∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，解三角形ACE即可求出直线AC与平面EFCD所成角，进而得到答案．

解答：证明：（1）直线AD与BC是异面直线，（1分）
法一（反证法）假设直线AD与BC共面为α．
∵EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴EF∥AB，EF?α，AB?α．
∴EF∥α，又EFCD∩α=CD
∴EF∥CD．
∴CD∥AB
这与ABCD为梯形矛盾．故假设不成立．即直线AD与BC是异面直线．
法二：在FC上取一点M，使FM=ED，又FM∥ED，
∴EFMD是平行四边形．
∴DM∥EF，又EF∥AB
∴DM∥AB，
则DM，AB确定平面α，B∈α，C∉α，AD?α
∴BC与AD是异面直线．
解：（2）延长CD，EF，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，
∴ED=2，CF=4，设AB=x，则△NDE中，NE=x，
∵AE⊥EF，平面ABFE⊥平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．过E作EH⊥DN于H，连接AH，
则AH⊥DN．
∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，
则∠AHE=60°．
∵NE=x，DE=2
∴HE=

2x

x2+4

，AE=2，
∴tan∠AHE=

AE

EH

=

x2+4

x

=

3

∴x=

2

，
此时在△EFC中，EF=

2

，FC=4
∴EC=3

2

，．又AE⊥平面EFCD，
∴∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，
∴tan∠ACE=

AE

EC

=

2

3

即当直线AC与平面EFCD所成角为arctan

2

3

时，二面角A-DC-E的大小为60°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线的判定，其中（1）中反证法关键是由假设结论不成立，推理后得到矛盾，直接法是要熟练掌握异面直线的判定定理，（2）的关键是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角．