【题目】已知函数,
,
.
(1)当,
时,求函数
的单调区间;
(2)当时,若
对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数的图象在两点
,
处的切线分别为
,
,若
,
,且
,求实数
的最小值.
【答案】(1)单调减区间是,单调增区间是
(2)
(3)
【解析】
试题分析:(1)先化简分段函数,分段分别求导
,即
再求导函数零点:当
,无零点,单调减;当
,有一个零点
,列表分析得
在
上单调递减;
在
上单调递增;最后综合函数图像得函数单调区间(2)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题,即
,因此转化为利用导数求函数最小值:当
,
时,
,求其定于区间上零点为1,列表分析函数单调性,确定函数极值,即最值
,最后解不等式
得负数
的取值范围;(3)由导数几何意义得
,由分段点可确定
,而
需分类讨论:若
,则
;若
,则
,分别代入
,探求实数
的解的情况:
,
,先求出
的取值范围
,再利用导数求函数
最小值
试题解析:函数求导得
(1)当,
时,
①若,则
恒成立,所以
在
上单调递减;
②若,则
,令
,解得
或
(舍去),
若,则
,
在
上单调递减;
若,则
,
在
上单调递增;
综上,函数的单调减区间是
,单调增区间是
.
(2)当,
时,
,而
,
所以当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
所以函数在
上的最小值为
,
所以恒成立,解得
或
(舍去),
又由,解得
,
所以实数的取值范围是
.
(3)由知,
,而
,则
,
若,则
,
所以,解得
,不合题意,
故,则
,
整理得,
由,得
,令
,则
,
,
所以,设
,则
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
所以函数的最小值为
,
故实数的最小值为
.
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【题目】已知直线:
,半径为2的圆
与
相切,圆心
在
轴上且在直线
的右上方.
(1)求圆的方程;
(2)若直线过点且与圆
交于
,
两点(
在
轴上方,
在
轴下方),问在
轴正半轴上是否存在定点
,使得
轴平分
?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某城市有一直角梯形绿地,其中
,
km,
km.现过边界
上的点
处铺设一条直的灌溉水管
,将绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图①,若为
的中点,
在边界
上,求灌溉水管
的长度;
(2)如图②,若在边界
上,求灌溉水管
的最短长度.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了在冬季供暖时减少能量损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度
(单位:
)满足关系:
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中用表示.
(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1,求及乙组同学投篮命中次数的方差;
(2)在(1)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.
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