Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ为常数，且λ≠-1，0，n∈N⁺
（1）证明：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N⁺，n≥2），求数列{b_n}的通项公式．
（3）设，数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer 1

（1）证明：
由 S_n=（1+λ）-λa_n，①
得 S_n+1=（1+λ）-λa_n+1，②（n∈N⁺）
②-①得S_n+1-S_n=-λa_n+1+λa_n，
即a _n+1=-λa_n+1+λa_n，
移向整理得（1+λ）a _n+1=λa_n，
∵λ≠-1，0，又得a_n+1=，是一个与n无关的非零常数，
∴数列{a_n}是等比数列．

（2）解：由（1）可知q=f（λ）=，∴b_n=f（b_n-1）=
两边取倒数得出==+1，移向得出-=1 （n∈N⁺，n≥2），
∴{}是等差数列，且首项=2，公差为1．
由等差数列通项公式求得
=2+（n-1）×1=n+1
∴b_n=．

（3）证明：当λ=1时数列{a_n}的公比q=f（λ）==，
在S_n=（1+λ）-λa_n，中令n=1时，得出a₁=2-a₁，解得a₁=1．
∴等比数列{a_n}的 通项公式为a_n=a₁•q^n-1=
从而=•[（n+1）-1]=n•＞0，数列{C_n}的前n项和T_n随n的增大而增大．
由 T_n=1•+2•+3•+…n•
得 T_n=1•+2•+…（n-1）•+n•
两式相减得
T_n=+++…-n•
=-n•
=2-（n+2）•
∴T_n=4-（n+2）•
当n≥2时，T_n≥T₂=4-4•=2． 易知T_n＜4．
所以当n≥2时，2≤T_n＜4．
分析：（1）由已知S_n=（1+λ）-λa_n，得出 S_n+1=（1+λ）-λa_n+1，（n∈N⁺），两式相减，化简整理（1+λ）a _n+1=λa_n，结合λ的条件，又得a_n+1=，是一个与n无关的非零常数．由此进行判断．
（2）由（1）应得出q=f（λ）=，从而b_n=f（b_n-1）=，将此式两边取倒数，并化简整理得出-=1 （n∈N⁺，n≥2），根据等差数列的通项公式求出{} 的通项公式，再求出数列{b_n}的通项公式．
（3）由上=•[（n+1）-1]=n•，利用错位相消法求出T_n再去证明不等式．
点评：本题考查等差数列、等比数列的判定，通项公式求解，错位相消法数列求和．考查转化、变形构造、计算、证明能力．