Question

已知函数f（e^x）=x²-2x+3（2≤x≤3），
（1）求f（x）的表达式及定义域；
（2）求f（x）的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令e^x=t，则t∈[e²，e³]，且f（t）=（lnt）²-2lnt+3，由此求得f（x）的解析式以及它的定义域．
（2）再令m=lnt，则m∈[2，3]，f（x）=g（m）=m²-2m+3=（m-1）²+2，显然g（m）在区间[2 3]上是增函数，从而求得它的最值．

解答： 解：（1）∵函数f（e^x）=x²-2x+3（2≤x≤3），令e^x=t，则t∈[e²，e³]，且f（t）=（lnt）²-2lnt+3，
故有f（x）=（lnx）²-2lnx+3，定义域为[e²，e³]．
（2）再令m=lnt，则m∈[2，3]，f（x）=g（m）=m²-2m+3=（m-1）²+2，显然g（m）在区间[2 3]上是增函数，
故当m=2时，g（t）取得最小值为3；
当m=3时，g（t）取得最大值为6．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属基础题．