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3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列,
(1)若a=1,b=$\sqrt{3}$,求sinC;
(2)若a,b,c成等差数列,试判断△ABC的形状.

分析 (1)由三角形内角和定理结合A,B,C成等差数列求得B,再由正弦定理求出A,则C可求,答案可求;
(2)由a,b,c成等差数列,可得a,b,c的关系式,再结合余弦定理可得a=c,则可判断△ABC的形状.

解答 解:(1)由A+B+C=π,2B=A+C,得B=$\frac{π}{3}$.
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$,得$\frac{1}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,得sinA=$\frac{1}{2}$,
又0<A<B,∴A=$\frac{π}{6}$,则C=$π-\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$.
∴sinC=1;
(2)证明:由2b=a+c,得4b2=a2+2ac+c2
又b2=a2+c2-ac,
得4a2+4c2-4ac=a2+2ac+c2
得3(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,又A+C=$\frac{2π}{3}$,∴A=C=B=$\frac{π}{3}$,
∴△ABC是等边三角形.

点评 本题考查解三角形,关键是对A,B,C成等差数列的应用,是中档题.

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