Question

如图，在四棱锥中，侧面底面,,为中点，底面是直角梯形，,，,．

(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．

Answer 1

(1) (2)详见试题解析；(3) ．

试题分析：(1)转化为线线平行：在平面内找的平行线；或转化为面面平行，经过找与平面平行的平面；(2) 转化为线面垂直，可先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证得结果；(3)首先建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面和平面的法向量，利用夹角公式列方程可求得的值．

试题解析：令中点为，连接，    １分
点分别是的中点，
,.
四边形为平行四边形.    ２分
,平面,
平面                ３分
(三个条件少写一个不得该步骤分)    
 　　　　       ４分
（2）在梯形中,过点作于,
在中，,.
又在中，,,
, 
.　　　　　　    ５分
面面,面面,,面,
面,　　　　　　　　　　　　　    ６分
,　                                   7分
,平面,平面
平面,　　　　　　　　　　　　　     8分
平面,　　　　　　　　　　　　　
平面平面 　　　　　　　　　　     9分
(３)以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．   １０分
则.

令，，
。
平面，
即平面的法向量
．　　　　　　　   １１分
设面的法向量为
则,即．
令，得．   １２分
二面角为，
，解得．   １３分
在上，，为所求．　　　　　　　　   １４分