Question

（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，面面，是正三角形， ，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为；
（Ⅲ）异面直线与所成角的余弦值为 。

本试题主要是考查了线线的垂直和二面角的求解，以及异面直线的所成的角的求解的综合运用。
（1）先根据线面垂直的性质定理得到线线垂直的判定。
（2）要求解二面角的平面角可以运用三垂线定理作出角，或者利用空间向量表示的二面角平面角。
（3）对于异面直线的所成的角，可以通过平移法得到结论。
（Ⅰ）分别取、的中点、，连结、．
∵是正三角形，∴．
∵面⊥面，且面面，
∴平面．∵是的中位线，且平面，∴平面．
以点为原点，所在直线为轴，所   
在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，

，， ，．
∴，．            ……………………2分
∴．
∴，即 ．                      …………………5分
（Ⅱ）∵平面，    ∴平面的法向量为．            
设平面的法向量为，∴，．
∴，即 ．
，即 ．
∴令，则，．    ∴．               
 ．
平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为         …………………10分
（Ⅲ）∵，，
∴．
∴异面直线与所成角的余弦值为                 …………………14