Question

已知函数f（x）=2x³-3ax²，g（x）=3x²-6x，又函数f（x）在（0，1）单调递减，而在（1，+∞）单调递增．
（1）求a的值；
（2）求M的最小值，使对?x₁、x₂∈[-2，2]，有|f（x₁）-g（x₂）|≤M成立；
（3）是否存在正实数m，使得h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导数，由函数f（x）在（0，1）单调递减，而在（1，+∞）单调递增，得x=1是函数f（x）的一个极值点，即f′（1）=0，代入求解．
（2）由（1）知f（x）=2x³-3x²，g（x）=3x²-6x，利用导数分别求出这两个函数的值域，再由不等式同向不等式可相加，求出f（x₁）-g（x₂）的范围，进而求出|f（x₁）-g（x₂）|的范围，最大值可求，即为M．
（3）写出h（x）的解析式，求导，得出极值点，为满足h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值，极值点应在（-2，2）内，极大值应为最大值，极小值应为最小值，得出不等式，求解．

解答：（本小题满分16分）
解：（1）f′（x）=6x²-6ax，
由题意知x=1是函数f（x）的一个极值点，即f′（1）=0，∴6-6a=0，即a=1，
此时f（x）=2x³-3x²，f′（x）=6x²-6x=6x（x-1）满足条件，∴a=1．…（4分）
（2）由f′（x）=6x（x-1）=0得，x=0或x=1，
得f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=4，f（-2）=-28，
∴当x₁∈[-2，2]时，-28≤f（x₁）≤4；…（6分）
又g（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3，
∴当x₂∈[-2，2]时，-3≤g（x₂）≤24；…（8分）
因此，-52≤f（x₁）-g（x₂）≤7，∴|f（x₁）-g（x₂）|≤52；
∴满足条件的M的最小值为52．…（10分）
（3）h（x）=f（x）+mg（x）=2x³+3（m-1）x²-6mx
则h′（x）=6x²+6（m-1）x-6m=6（x-1）（x+m）=0得x₁=1，x₂=-m；…（12分）
要使得存在正实数m，使得h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值，则必须-m＞-2，即0＜m＜2，且满足

h(1)≤h(-2) h(-m)≥h(2)

，…（14分）
得

m≥1 m3+3m2-4≥0

，即

m≥1 (m-1)(m+2)2≥0

∴m≥1
∴1≤m＜2，∴m的取值范围为1≤m＜2．…（16分）

点评：由极值点可得导数为0，由导数为0得到的不一定是极值点，若算也的参数有多个取值，一定要验证；求函数值，若是三次函数，一般要用导数求其最值，本题求参数的范围，用的数形结合，利用导数知图象的大致走向，得出什么样的图形才能满足条件，使问题简化，注意开区间．