Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞1\\{2^{-x+1}}，x≤1\end{array}\right.$，若方程$f（x）-ax=\frac{5}{2}$有3个不同的解，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{5}{2}]$
• B． $（-\frac{5}{2}，-\frac{3}{2}]$
• C． $[-\frac{5}{2}，-\frac{3}{2}]$
• D． $（-\frac{3}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 方程$f（x）-ax=\frac{5}{2}$有3个不同的解，即$f（x）=ax+\frac{5}{2}$有3个不同的解，等价于y=f（x）与$y=ax+\frac{5}{2}$的图象有3个不同的交点，因为直线$y=ax+\frac{5}{2}$恒过$（{0，\;\;\frac{5}{2}}）$，所以满足条件的直线应在图中的l₁与l₂之间，求出斜率，即可得出结论．

解答 解：f（x）的图象如图所示，方程$f（x）-ax=\frac{5}{2}$有3个不同的解，即$f（x）=ax+\frac{5}{2}$有3个不同的解，
等价于y=f（x）与$y=ax+\frac{5}{2}$的图象有3个不同的交点，
因为直线$y=ax+\frac{5}{2}$恒过$（{0，\;\;\frac{5}{2}}）$，
所以满足条件的直线应在图中的l₁与l₂之间，斜率分别是${k_1}=\frac{{\frac{5}{2}-1}}{0-1}=-\frac{3}{2}$，${k_2}=\frac{{\frac{5}{2}-0}}{0-1}=-\frac{5}{2}$，故$a∈（{-\frac{5}{2}，\;\;-\frac{3}{2}}]$，
故选B．

点评 本题考查方程解的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．