Question

求和：1+2x+3x²+…+nx^n-1，x∈R．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，分3种情况讨论：（1）x=1时，由等差数列前n项和公式可得S_n，（3）x≠1时，用错位相减法，可得答案．
解答：解，根据题意，分3种情况讨论：
（1）x=1时，由等差数列前n项和公式可得S_n=1+2+3+…+n=，
（2）当x≠1时，
设S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1，①
则xS_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，②
①-②可得：（1-x）S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=1-nxⁿ+
则S_n=．
故当x=0时，S_n=1；
当x=1时，S_n=，
当x≠0且x≠1时，S_n=．
点评：本题考查数列的求和，注意按x的值不同，分3种情况讨论，容易遗漏x=0的情况．