Question

1．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（1）求证：-3≤f（x）≤3；
（2）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．

解答 解：（1）当x≤-1时，f（x）=3，成立；
当-1＜x＜2时，f（x）=-2x+1，
-4＜-2x＜2，∴-3＜-2x+1＜3，成立；
当x≥2时，f（x）=-3，成立；
故-3≤f（x）≤3；-------------------------（5分）
（2）当x≤-1时，x²-2x≤3，∴-1≤x≤2，∴x=1；
当-1＜x＜2时，x²-2x≤-2x+1，∴-1≤x≤1，∴-1＜x≤1；
当x≥2时，x²-2x≤-3，无解；-------------------------（8分）
综合上述，不等式的解集为：[-1，1]．-------------------------（10分）

点评 本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．