Question

已知以点C为圆心的圆经过点A（-1，0）和B（3，4），且圆心C在直线x+3y-15=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q（-1，m）（m＞0）在圆C上，求△QAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15的交点，解之可得C（-3，6），由距离公式可得半径，进而可得所求圆C的方程；
（Ⅱ）代点的坐标可得m的值，进而可得|AQ|，可得直线AQ的方程，可得点B到直线AQ的距离，代入三角形的面积公式可得．

解答：解：（Ⅰ）依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点，…（1分）
∵AB的中点为（1，2），斜率为

4-0

3-(-1)

=1，
∴AB的垂直平分线的方程为y-2=-（x-1），即y=-x+3…（2分）
联立 

y=-x+3 x+3y-15=0

，解得

x=-3 y=6

，即圆心C（-3，6）
∴半径r=

(-1+3)2+(0-6)2

=2

10

                  …（5分）
所求圆C的方程为（x+3）²+（y-6）²=40…（6分）
（Ⅱ）点Q（-1，m）（m＞0）在圆C上，则（-1+3）²+（m-6）²=40
整理可得（m-6）²=36，解得m=12或 m=0（舍去）…7分
故可得|AQ|=

(-1+1)2+(0-12)2

=12…（8分）
直线AQ的方程为x=-1，故点B到直线AQ的距离为|3-（-1）|=4…（9分）
所以△QAB的面积为S=

1

2

×12×4=24             …（12分）

点评：本题考查直线与圆的性质，涉及直线方程的求解和点到直线的距离公式，属中档题．