Question

9．已知圆C过点P（0，5），Q（4，3），且圆心C在直线x-y+3=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）如图，过点P（4，0）做直线l与圆O：x²+y²=25交于点A，B，与圆C交于点M，N，若AB=MN，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（a，a+3），根据圆C过点P（0，5），Q（4，3），可得CP²=CQ²，求得a的值，可得圆C的圆心和半径CP，从而求得圆C的方程．
（2）当直线l的斜率存在时，用点斜式设出直线l的方程，求得 圆心O到直线l的距离为d，可得弦长AB，同理求得MN，再根据AB=MN，求得k的值，从而求得直线l的方程．当直线l的斜率不存在时，检验满足条件，从而得出结论．

解答 解：（1）设圆心C（a，a+3），根据圆C过点P（0，5），Q（4，3），
可得CP=CQ，即CP²=CQ²，即a²+（a+3-5）²=（a-4）²+（a+3-3）²，
求得a=3，可得圆C的半径为CP=$\sqrt{{3}^{2}{+（6-5）}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故圆C的方程为 （x-3）²+（y-6）²=10．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-0=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圆心O到直线l的距离为d=$\frac{|0-0-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，圆O的半径为5，故弦长AB=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{1{6k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
圆心C（3，6）到直线l的距离为d=$\frac{|3k-6-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，圆O的半径为$\sqrt{10}$，故弦长MN=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{{（k+6）}^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再根据AB=MN，可得2$\sqrt{25-\frac{{16k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{10-\frac{{（k+6）}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，求得k=-$\frac{17}{4}$，故直线l的方程为-$\frac{17}{4}$x-y-17=0，即 17x+4y+68=0．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，
圆心O到直线l的距离为d=4，圆O的半径为5，故弦长AB=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=6．
圆心C（3，6）到直线l的距离为d=1，圆O的半径为$\sqrt{10}$，故弦长MN=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=6，
满足AB=MN．
综上可得，直线l的方程为17x+4y+68=0或x=4．

点评 本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，弦长公式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．