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8.设函数$f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若当x≥2时,f'(x)≥af(x)恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)先求函数的定义域,再求导,根据导数判断单调性;(Ⅱ)对于恒成立的问题,转化为求关于参数的最值问题.

解答 解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞),
f′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-2)}{{(x-1)}^{2}}$,
由f′(x)>0,解得:x>2,由f′(x)<0,解得:x<2且x≠1,
故f(x)在(2,+∞)递增,在(-∞,1),(1,2)递减;
(Ⅱ)由题意得:x≥2时,$\frac{{e}^{x}(x-2)}{{(x-1)}^{2}}$≥$\frac{{ae}^{x}}{x-1}$恒成立,
即x-2≥a(x-1)恒成立,解得:a≤$\frac{x-2}{x-1}$,
令g(x)=$\frac{x-2}{x-1}$,(x≥2),则g′(x)=$\frac{1}{{(x-1)}^{2}}$>0,
故g(x)在[2,+∞)递增,
故g(x)≥g(2)=0,
故a的范围是(-∞,0].

点评 本题考查函数恒成立问题,着重考查等价转化思想与构造函数思想、考查基本不等式的应用与运算求解能力,属于中档题.

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