Question

9．设M={a+b$\sqrt{2}$||a²-2b²|=1，a∈Z，b∈Z}，若x∈M，y∈M，求证：
（1）xy∈M；
（2）$\frac{1}{x}$∈M．

Answer 1

分析 根据M={a+b$\sqrt{2}$||a²-2b²|=1，a∈Z，b∈Z}，根据x∈M，y∈M时，x，y符合集合M的性质，判断xy与$\frac{1}{x}$也符合集合M的性质，可得答案．

解答 证明：（1）M={a+b$\sqrt{2}$||a²-2b²|=1，a∈Z，b∈Z}，
若x∈M，y∈M，
则x=a+b$\sqrt{2}$，且|a²-2b²|=1，a∈Z，b∈Z，
则y=m+n$\sqrt{2}$，且|m²-2n²|=1，m∈Z，n∈Z，
则xy=am+2bn+（an+bm）$\sqrt{2}$，
此时，am+2bn∈Z，an+bm∈Z，
且|（am+2bn）²-2（an+bm）²|=|a²m²+4b²n²-2a²n²-2b²m²|=|（a²-2b²）（m²-2n²）|=1，
故xy∈M；
（2）$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$=$\frac{a}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$-$\frac{b}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$$\sqrt{2}$，
∵|a²-2b²|=1，
$\frac{1}{x}$=a-b$\sqrt{2}$，此时，a∈Z，-b∈Z，|a²-2（-b）²|=1，
或$\frac{1}{x}$=-a+b$\sqrt{2}$，此时，-a∈Z，b∈Z，|（-a）²-2b²|=1，
故$\frac{1}{x}$∈M．

点评 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，判断元素是否满足集合的性质，是解答的关键．