Question

若向量

m

=(

3

sinωx，0)

n

=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

，且当x∈[0，

π

3

]时，f(x)的最大值为1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用函数f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t求出向量的数量积，利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

，求出函数的周期，得到ω，利用x∈[0，

π

3

]时，f(x)的最大值为1．
求出t，得到函数的解析式．
（II）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间，即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（I）由题意得f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t=

m

2+

m

•

n

=3sin2ωx+

3

sinωx•cosωx+t
=

3

2

-

3

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+t
=

3

sin(2ωx-

π

3

)+

3

2

+t…(4分)
∵对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

∴f（x）的最小正周期为T=π∴

2π

2ω

=π，∴ω=1…（6分）
∴f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)+

3

2

+t，
当x∈[0，

π

3

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]
∴2x-

π

3

=

π

3

即x=

π

3

时，f(x)取得最大值3+t

∵f(x)max=1

，∴3+t=1，∴t=-2
（II）2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（10分）2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

5

6

π，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π
∴函数f(x)的单调递增区为[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π](k∈Z)…(12分)

点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，解析式的求法，三角函数的单调性的应用，考查计算能力．