Question

已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y，2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．

(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)恒成立；

(2)设a＝(1，1)，b＝(1，0)，求向量f(a)、f(b)的坐标；

(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设a＝(a₁，a₂)，b＝(b₁，b₂)，则ma＋nb＝(ma₁＋nb₁，ma₂＋nb₂)．

　　∴f(ma＋nb)＝(ma₂＋nb₂，2ma₂＋2nb₂－ma₁－nb₁)，

　　mf(a)＋nf(b)＝m(a₂，2a₂－a₁)＋n(b₂，2b₂－b₁)

　　＝(ma₂＋nb₂，2ma₂＋2nb₂－ma₁－nb₁)．

　　∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)恒成立．

　　(2)f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1)．

　　(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)＝(p，q)．

　　∴y＝p，2y－x＝q．∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．

　　思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可．

提示：

本题是向量的坐标运算与函数知识相结合的问题，题目的难度并不大，主要考查向量的坐标运算和函数的基础知识，但却充分体现了坐标运算的代数性．为运用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题．