Question

5．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，且椭圆E过点（0，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），点A是椭圆上位于第一象限的一点，且△AF₁F₂的面积S_△${\;}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$．
（1）求点A的坐标；
（2）过点B（3，0）的直线l与椭圆E相交于点P、Q，直线AP、AQ分别与x轴相交于点M、N，点C（$\frac{5}{2}$，0），证明：|CM|•|CN|为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）由于椭圆E过点（0，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），联立$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得椭圆的方程．由于△AF₁F₂的面积S_△AF1F2=$\sqrt{3}$，利用$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|{y}_{A}$=$\sqrt{3}$，可得y_A=1，代入椭圆方程可得得x_A．即可得出A的坐标．
（2）设直线l的方程为：my=x-3，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直线AP的方程为：y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），M$（\frac{（2-m）{y}_{1}-3}{{y}_{1}-1}，0）$．同理可得N$（\frac{（2-m）{y}_{2}-3}{{y}_{2}-1}，0）$．联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化为：（2+m²）y²+6my+3=0．利用根与系数的关系可得y₁+y₂，y₁y₂．即可证明|CM|•|CN|为定值．

解答 （1）解：由于椭圆E过点（0，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b=c=$\sqrt{3}$，a²=6，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵△AF₁F₂的面积S_△AF1F2=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|{y}_{A}$=$\sqrt{3}$，
∴y_A=1，代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{A}^{2}}{6}+\frac{1}{3}=1$，
∵x_A＞0，解得x_A=2．
∴A（2，1）．
（2）证明：设直线l的方程为：my=x-3，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
直线AP的方程为：y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），可得M$（\frac{2{y}_{1}-{x}_{1}}{{y}_{1}-1}，0）$，即M$（\frac{（2-m）{y}_{1}-3}{{y}_{1}-1}，0）$．
直线AQ的方程为：y-1=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$（x-2），可得N$（\frac{2{y}_{2}-{x}_{2}}{{y}_{2}-1}，0）$，即N$（\frac{（2-m）{y}_{2}-3}{{y}_{2}-1}，0）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化为：（2+m²）y²+6my+3=0．
△＞0，可得m²＞1．
∴y₁+y₂=$\frac{-6m}{2+{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{3}{2+{m}^{2}}$．
∴|CM|•|CN|=$（\frac{5}{2}-\frac{（2-m）{y}_{1}-3}{{y}_{1}-1}）$•$（\frac{5}{2}-\frac{（2-m）{y}_{2}-3}{{y}_{2}-1}）$=$\frac{（1+2m）{y}_{1}+1}{2（{y}_{1}-1）}$$•\frac{（1+2m）{y}_{2}+1}{2（{y}_{2}-1）}$
=$\frac{（1+2m）^{2}{y}_{1}{y}_{2}+（1+2m）（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}{4[{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1]}$
=$\frac{\frac{3（1+4m+4{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}-\frac{6m（1+2m）}{2+{m}^{2}}+1}{4（\frac{3}{2+{m}^{2}}+\frac{6m}{2+{m}^{2}}+1）}$=$\frac{{m}^{2}+6m+5}{4（{m}^{2}+6m+5）}$=$\frac{1}{4}$，为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、定值问题、三角形面积计算公式，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．