Question

已知函数，且此函数图象过点（1，5）．
（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（3）解关于实数x的不等式．

Answer 1

解：（1）把（1，5）代入函数f（x）得f（1）=1+m=5，解得m=4
∴
∵=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（2）函数在（0，2）上单调减，证明如下：
取0＜x₁＜x₂＜2，则f（x₂）-f（x₁）=（x₂+）-（x₁+）=（x₂-x₁）+4（）=（x₂-x₁）（1-）
因为0＜x₁＜x₂＜2，所以x₁x₂＜4，∴1-＜0，x₂-x₁＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数在（0，2）上单调减
（3）不等式，等价于f（1），由（2）知
∴2-2^x＞1
∴2^x＜1
∴x＜0
∴不等式的解集为（-∞，0）
分析：（1）把（1，5）代入函数f（x），可求得m=4，利用奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）函数在（0，2）上单调减，利用单调性的定义证明，取值，作差，变形，定号下结论；
（3）不等式，等价于f（1），由（2）知，从而可得不等式的解集．
点评：本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，正确运用定义是关键．