Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（2）求证：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

证明：（1）设AC∩BD=E，连接D₁E，
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
∴B₁D₁∥BE，∵B₁D₁=BE=，
∴四边形B₁D₁EB是平行四边形，
所以B₁B∥D₁E．
又因为B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
所以B₁B∥平面D₁AC
（2）证明：侧棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁．
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．
∵DD₁与DB是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，
∴AC⊥平面B₁BDD₁
∵AC?平面D₁AC，∴平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．
分析：（1）设AC∩BD=E，连接D₁E，根据平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁的性质得B₁D₁∥BE，而B₁D₁=BE=，则四边形B₁D₁EB是平行四边形，从而B₁B∥D₁E，又因B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，根据线面平行的判定定理可知B₁B∥平面D₁AC；
（2）根据侧棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，得AC⊥DD₁．而下底ABCD是正方形则AC⊥BD，根据DD₁与DB是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，则AC⊥平面B₁BDD₁，AC?平面D₁AC，根据面面垂直的判定定理可知平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．
点评：本题主要考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力以及推理能力，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．