【题目】已知函数f(x)= ﹣axlnx(a∈R)在x=1处的切线方程为y=bx+1+ (b∈R).
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)< .
(3)若正实数m,n满足mn=1,证明: + <2(m+n).
【答案】
(1)解:函数f(x)= ﹣axlnx的导数为f′(x)= ﹣alnx﹣a,
由题意可得f′(1)=b=﹣a,f(1)= =b+1+ ,
解得a=1,b=﹣1;
(2)解:证明:f(x)= ﹣xlnx< ,即为 ﹣ <xlnx,
令g(x)= ﹣ ,g′(x)= ,
则g(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
g(x)的最大值为g(1)=﹣ ,当且仅当x=1时等号成立.
又令h(x)=xlnx,则h′(x)=1+lnx,
则h(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增,
则h(x)的最小值为h( )=﹣ ,当且仅当x= 等号成立,
因此 ﹣ <xlnx,即f(x)<
(3)解:证明:由(2)可得 ﹣mlnm< ,即 ﹣lnm< ,
两边同乘以e,可得 ﹣elnm< ,
同理可得, ﹣elnn< ,
两式相加,可得: <e(lnm+lnn)+2(m+n)=elnmn+ =2(m+n).
故 <2(m+n)
【解析】(1)求得f(x)的导数,可得斜率,解方程可得a,b;(2)由题意可得即证 ﹣ <xlnx,令g(x)= ﹣ ,求出导数,单调区间,可得最大值;又令h(x)=xlnx,求出最小值,即可得证;(3)由(2)可得 ﹣mlnm< ,即 ﹣lnm< ,两边乘以e,可得一不等式,同理可得, ﹣elnn< ,两式相加结合条件,即可得证.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).
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【题目】已知曲线C1的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ. (Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
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【题目】已知数列{an}的前n项和 ,数列{bn}的前n项和为Bn .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,求数列{cn}的前n项和Cn;
(3)证明: .
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点为F1 , F2 , 设点F1 , F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设A,B,P为椭圆C上三点,满足 = + ,记线段AB中点Q的轨迹为E,若直线l:y=x+1与轨迹E交于M,N两点,求|MN|.
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【题目】非零向量 , 的夹角为 ,且满足| |=λ| |(λ>0),向量组 , , 由一个 和两个 排列而成,向量组 , , 由两个 和一个 排列而成,若 + + 所有可能值中的最小值为4 2 , 则λ= .
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程和长轴长;
(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,P为直线x=﹣3上任意一点,过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M,N,记d1 , d2分别为点M和N到直线OP的距离,证明:d1=d2 .
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