Question

若已知不等式2x-1＞m（x²-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：构造变量m的函数，对x²-1＞0，x²-1＜0，x²-1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x的范围，然后求并集即可．

解答：解：构造变量m的函数求解：2x-1＞m（x²-1）即：（x²-1）m-（2x-1）＜0
构造关于m的函数f（m）=（x²-1）m-（2x-1），|m|≤2即-2≤m≤2．
1）当x²-1＞0时，则f（2）＜0 从而 2x²-2x-1＜0 解得：

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

又x²-1＞0，即x＜-1 或 x＞1，所以 1＜x＜

1+ 3

2

；
2）当x²-1＜0时，则f（-2）＜0 可得-2x²-2x+3＜0 从而 2x²+2x-3＞0
解得 x＜

-1- 7

2

或x＞

7 -1

2

又-1＜x＜1，从而

7 -1

2

＜x＜1
3）当x²-1=0时，则f（m）=1-2x＜0 从而x＞

1

2

，故x=1；
综上有：

7 -1

2

＜x＜

1+ 3

2

故答案为：(

7 -1

2

，

3 +1

2

)

点评：本题考查一元二次不等式与二次函数，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．