Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求点B到平面CDB₁的距离；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-D的大小．

Answer 1

解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁两两垂直．
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）证明：
设BC₁与B₁C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵，∴，∴DE∥AC₁…（3分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁（4分）
（Ⅱ）设点B到平面CDB₁的距离为h．
在三棱锥B₁-BCD中，
∵，且B₁B⊥平面BCD，
∴（6分）
易求得，
∴．
即点B到平面CDB₁的距离是．．（9分）
（Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B₁C于点G，连接DG．
易证明DF⊥平面BCC₁B₁，从而GF是DG在平面BCC₁B₁内的射影，
根据三垂线定理得B₁C⊥GD．
∴∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角（12分）
易知，
∵，
∴=．
∴二面角B-B₁C-D的大小是．（14分）
分析：以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
（Ⅰ）求出，推出DE∥AC₁．从而证明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）点B到平面CDB₁的距离为h．通过，求点B到平面CDB₁的距离；
（Ⅲ）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥B₁C于点G，连接DG，说明∠DGF是二面角B-B₁C-D的平面角，求出与公式相关向量，计算，求二面角B-B₁C-D的大小．
点评：本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．